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重庆师范大学 2025 年 硕士研究生招生考试初试自命题考试大纲
考试科目代码及名称 829 高等代数
考试方式 闭卷
题型结构 计算题、证明题
考试总时长及总分 180 分钟； 150 分 。
考试范围、要求、主要内容：
要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论 ， 掌 握 高 等 代 数
的基本思想 和 方 法 。要 求 考 生 具 有 抽 象 思 维 能 力 、逻 辑 推 理 能 力 、运 算 能 力 和 综
合 运 用 所 学 的 知 识 分 析 问题和解决问题的能力。
考试内容：
（一） 多项式
1. 一 元 多 项 式 的 整 除 、 最 大 公 因 式 、 带 余 除 法 公 式 、 互 素 、 不 可 约 多 项
式 、 因 式 分解、 重因式、根及重根、多项式函数的概念及判 别；
2. 复根存在定理（代数基本定理 ）， 根与系数关系 ；
3. 辗转相除法求两个多项式的最大公因式；多项式有重因式的判别方法，
实数域、复数域上多项式因式分解定理，有理系数多项式的全部有理根。
4. 一 些 重 要定 理的 证明 ，如 多 项式 的整 除性 质， Eisenstein 判 别 法， 不
可约 多项式 的性质，整系数多项式的因式分解定理等；
5. 运 用 多 项 式 理 论 证 明 有 关 命 题 ， 如 与 多 项 式 的 互 素 和 不 可 约 多 项 式 的
性 质 有 关 的 问 题的 证明 与应 用 ；
6. 用多项式函数方法证明有关结论。
（二） 行列式
1. n -级排列、对换、 n -级排列的逆序及逆序 数和奇偶性；
2. n -阶行列式的定义，基本性质及常用计算方法（如三角形法、 加边法、
降阶法、 递 推 法 、 按 一 行 或 一 列 展 开 法 、 Vandermonde 行 列式法 ）；
3. 行列式的代数余子式 ， Vandermonde 行列式；
4. Cramer 法则解决问题。
（三） 线性方程组
1. 向 量 组 线 性 相（ 无 ）关 的 判 别 及 相 应 齐 次 线 性 方 程组 有（ 无）非零 解
的 相 关向 量判别法、行列式判别法；
2. 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组 的 性 质 ， 向 量 组 之 间 秩 的 大 小 关 系 定 理
及 其 三 个 推 论 ，向 量 组 的 秩 的 概 念 及 计 算 ，矩 阵 的 行 秩 、列 秩 、秩 概 念 及 其
行列式判别 法和计算；
3. 线 性 方程 组有 （无 ）解的 判 别定 理， 齐次 线性 方程 组 有（ 无） 非 零解
的矩阵秩判别法、基础解系的计算和性质、通解的求法；
4. 非 齐 次线 性方 程组 的解 法和 解 的结 构定 理。
（四） 矩阵理论
1. 矩 阵 基 本 运 算 、 分 块 矩 阵 运 算 及 常 用 分 块 方 法 并 用 于证 明与 矩阵 相关
的结论 ,如 有 关 矩 阵 秩 的 不 等 式 ；
2. 初 等 矩 阵 、 初 等 变 换 及 其 与 初 等 矩 阵 的 关 系 和 应 用 ；
3. 矩 阵 的 逆 和 矩 阵 的 等 价 标 准 形 的 概 念 及 计 算 ， 矩 阵 可 逆 的 条 件 及 其 与
矩 阵 的 秩 和初等矩阵的关系，伴随矩阵概念及性质；
4. 行列式乘积定理；
5. 矩阵的转置 及相关性质；
6. 一 些 特 殊 矩 阵 的 常 用 性 质 ， 如 ， 对 角 阵 、 三 角 阵 、 三 对 角 阵 、 对 称 矩
阵 、 反 对 称矩阵、幂等矩阵、幂零矩阵、正交矩阵等；
7. 矩阵的迹、方阵的多项式；
8. 矩 阵 的 常 用 分 解 ， 如 等 价 分 解 、 满 秩 分 解 、 实 可 逆 矩 阵 的 正 交 三 角 分
解 、 约 当 分解；
9. 应用矩阵理论解决一些问题。
（五） 二次型理论
1. 二 次 型 及 其 标 准 形 、 规 范 形 的 概 念 和 计 算 ， 惯 性 定 理 及 其 应 用 ；
2. 实二次型或实对称矩阵正定、半正定、负定、半负定的概念及判定条件
和应 用；
3. 实 二 次 型 在 合 同 变 换 下 的 规 范 形 以 及 在 正 交 变 换 下 的 特 征 值 标 准 型 的
求 法 。
（六） 线性空间；
1. 线性空间、子空间的定义及性质；
2. 线性 空间 中一 个向 量组 的 秩及 计算 方法 ；
3. 线 性 （ 子 ） 空 间 的 基 和 维 数 与 向 量 关 于 基 的 坐 标 ， 子 空 间 的 基 扩 充 定
理 ， 基 变 换与坐标变换，生成子空间，子空间的直和，一些常 见的子空间，
如线性方程 组 的 解 空 间 ， 矩 阵 空 间 ， 多 项 式 空 间 ， 特 征 子 空 间 ；
4. 子空间的直和、维数公式；
5. 线性空间的同构；
6. 向 量 组 线 性 相 关 或 无 关 及 子 空 间 直 和 等 相 关 结 论 的综 合证 明。
（七） 线性变换
1. 线性变换定义与运算及其矩阵表示；
2. 矩 阵的 特征 多项 式和最 小 多 项 式及 其有 关性 质；
3. 线 性 变 换 及 其 对 应 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量 的 概 念 和 计 算 ；
4. 线 性 变 换 及 其 矩 阵 的 线 性 无 关 特 征 向 量 的 判 别 和 最 大 个 数 及 特 征 子 空
间；
5. 实 对称 矩阵 的特 征值和 特 征向 量的 性质 ，矩 阵的 对 角化 的判 定和 计算 ；
6. 矩 阵 相 似 的 概 念 及 同 一 个 线 性 变 换 关 于 不 同 基 的 矩 阵 之 间 的 关 系 ；
7. 线 性 变 换 的 不 变 子 空 间 、 核 、 值 域 的 概 念 及 关 系 和 计 算 ；
8. 线性 变换 和矩 阵可 对角 化 的概 念和 条件 ；
9. Hamilton -Caylay 定理。
（八） λ -矩阵
1. λ -矩阵 的初 等变换 、标 准型 、行 列式 因子 、不变 因子 、初 等因 子及 三
种
因子之 间的关系；
2. 矩 阵 的 Jordan 标 准 形 的 存 在 唯 一 性 定 理 的 证 明 及 其 应 用 。
（九） 欧氏空间
1. 内 积 和 欧 氏 空 间 的 定 义 及 简 单 性 质 ， 如 柯 西 — 布 涅 可 夫 斯 基 不 等 式 、
三 角 不 等 式 、 勾 股 定 理 等 ；
2. 欧氏空间的度量矩阵的概念及性质；
3. 欧 氏 空 间 的 标 准 正 交 基 概 念 及 其 求 法 和 性 质 的 证 明 与 应 用 ；
4. 子 空 间 的 正 交 以 及 正 交 补 的 概 念
5. 正 交 变 换 和 正 交 矩 阵 的 等 价 条 件 ；
6. 对 称 变 换 的 概 念 及 其简单性质；
7. 实 对 称 矩 阵 的 正 交 相 似 对 角 化 定 理 及 其 相 应 正 交 矩 阵 和 对 角 矩 阵 的 求
法；
8. 会用求特征值方法化实二次型为标准形；
9. 线性无关向量组的施密特（ Schmidt ）正交化方法。
参考书目 《高等代数 （第五版）》， 北京大学数学系前
代数小组 编 ，高等教育出版社， 2019
其他说明 无
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