2025考研大纲：天津理工大学2025年考研自命题科目 802数学分析 考试大纲

一、考试方式

考试采用笔试方式。考试时间为

180

分钟，试卷满分为 150

分.

二、试卷结构与分数比重

试卷共分为四部分

1、 填空题（约

10%）

2、 选择题（约

15%）

3、 计算题（约

40%）

4、 证明题（约

35%）

三、考查的知识范围

第二章

极限与连续

1

、数列的极限。

2

、函数的根限。

3

、函数的连续性。

4

、无穷小与无穷大。

基本要求：

（

1

）掌握极限的定义，会用ε

—N，ε—

δ语言证明极限存在。

（

2

）会求极限，掌握关于极限的性质。

（

3

）掌握函数连续的概念，会判断函数的连续性，会判断间断点及类型，熟悉连续函数的运算性质和局部性

质。

（

4

）会比较无穷小的阶，并会使用等价无穷小求极限。

（

5

）熟悉闭区间上连续函数的性质。

第三章

关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明

1

、实数连续性的基本定理。

2

、闭区间上连续函数性质的证明。

基本要求：

（

1

）熟悉六个实数连续性定理的条件与结论，这六个定理是：单调有界数列必有极限，确界原理，闭区间套

定理，有界无穷数列必有收敛子列，有限覆盖定理，

cauchy

收敛准则。

（

2

）了解六个定理之间的逻辑关系。

（

3

）掌握函数一致连续的概念。

（

4

）掌握闭区间上连续函数的性质，并会使用这些性质证明一些较简单的命题。

（

5

）熟悉闭区间上连续函数性质的证明过程。

第四章

导数与微分

1

、函数导数的定义与求导公式。

2

、求导法则：

（

1

）四则运算法则

，（

2

）复合函数求导法则。

（

3

）隐函数及参数分程表示的函数的求导法则。

3

、高阶导数

4

、微分及其运算

基本要求

（

1

）掌握导数，左、右导数的定义，会用左、右导数求导数或证明导数的

存在。

（

2

）熟练掌握求导法则，会求导数，包含高阶导数。

（

3

）理解导数与微分之间的关系，会求微分。

第五章

微分学基本定理及导数应用

1

、中值定理。

2

、泰勒公式。

3

、函数的单调性，凸性，极值。

4

、

L

’

Hospital

法则。

基本要求：

（

1

）掌握三个中值定理的应用。

（

2

）熟悉泰勒公式及其余项的两种形式：拉格朗日余项

和皮亚诺余项。

（

3

）会利用导数判断函数的单调性，凸性，求拐点。

（

4

）会求函数的极值，最值。

（

5

）会使用

L

’

Hospital

法则求极限。

第六章

不定积分

1

、不定积分的概念与运算法则。

2

、不定积分的计算。

基本要求：

（

1

）熟练运用积分公式。

（

2

）掌握换元积分法，分部积分法。

（

3

）掌握有理函数积分法，简单有理函数和三

角有理式的积分法。

第七章

定积分

1

、定积分的概念。

2

、定积分的可积性。

3

、定积分的性质。

4

、定积分的计算。

基本要求：

（

1

）掌握定积分的定义。

（

2

）会运用定积分的性质，特别是变限函数性质的应用。

（

3

）会计算定积分（

N

——

L

公式，换元积分与分部积

分等）。

第八章

定积分的应用

1

、平面图形面积的计算。

2

、曲线的孤长。

3

、体积的计算：旋转体，截面面积已知。

4

、旋转曲面的侧面积。

5

、平均值。

下册

第九章

数项级数

1

、上下极限的定义，性质，求法。数项级数的收敛性和基本性质。

2

、正项级

数。

3

、任意项级数。

4

、绝对收敛级数和条件收敛级数的性质。

基本要求：

（

1

）掌握收敛级数的基本性质和

Cauchy

收敛准则。

（

2

）掌握一般项级数收敛的以下的判断法：收敛的充要条件，比较判断法，比值判别法，根式判别法，积分

判别法，掌握交错级数收敛的判别法，任意级数转化为正项级数的判别法，掌握狄利克莱，阿贝尔判别法。

（

3

）掌握绝对收敛级数，条件收敛级数的性质。

第十章

反常积分

1

、无穷限的反常积分。

2

、无界函数的反常积分。

基本要求：

（

1

）反常积分的计算。

（

2

）掌握反常积分收敛的判别法。

第十一章

函数项级数、幂级数

1

、函数项级数的收敛和一致收敛。

2

、幂级数的收敛区间，和函数。

3

、将函数展成幂级数。

基本要求

：（

1

）掌握函数项级数的一致收敛性的概念，会判断一致收敛。

（

2

）掌握一致收敛的函数项级数的三个分析性质：逐项微分、逐项积分、函数的连续性。

（

3

）会求幂级数的收敛半径，收敛区域。

（

4

）会求和函数以及将函数展成幂级数。

第十二章

傅里叶级数

1

、函数展成

Fourier

级数。

2

、

F

ourier

级数的收敛性。

基本要求：

（

1

）会求周期为

2T

的函数的

Fourier

级数。

（

2

）会将定义于

[O

、

T]

的函数展成正弦级数或余弦级数。

（

3

）掌握函数

f

（

x

）的

Fourier

级数的收敛性定理。

第十三章

多元函数的极限与连续

1

、平面点集。

2

、多元函数的极限。

3

、多元函数的连续。

基本要求：

（

1

）熟悉距离，邻域，聚点、内点、开集

、闭集、区域的概念。

（

2

）了解平面点集连续性定理。

（

3

）掌握多元函数极限的概念（主要是二元函数的极限），熟悉重极限与累次

极限的关系。

（

4

）熟悉多元函数连续的概念，掌握极限的运算法则，连续函数的局

部性质。

（

5

）熟悉有界闭区域连续函数的性质。

第十四章

偏导数和全微分

1

、偏导数和全微分的概念。

2

、复合函数求偏导数的法则。

3

、隐函数的求导法则。

4

、空间曲线的切线与法平面方程。

5

、空间曲面的切平面与法线方程。

6

、方向导数与梯度。

基本要求：

（

1

）会求偏导数。

（

2

）掌握隐函数（一个方程，两个方程）的求导法则。

（

3

）会求空间曲线的切线法平面方程。空间曲面的

切面与法线方程。

（

4

）会求方向导数和梯度。

第十五章

极值和条件极值

1

、极值与最值的求法。

2

、条件极值的求法（拉格朗日乘子法）。

第十七章

含参变量的积分

第十八章

含参变量的反常积分

1

、含参变量的定积分。

2

、含参变量的无穷限积分。

3

、含参变量的无界函数的积分。

基本要求：

（

1

）掌握含参量定积分的分析性质。

（

2

）掌握含参变量反常积分的一致收敛性的概念，一致收敛性的判别法，魏尔斯特拉斯判别法。

（

3

）掌握一致收敛积分的分析性质，连续性、积分号下求导，积分号

下积分。

第十九章

积分的定义与性质

基本要求：

（

1

）掌握二重，三重积分，第一类曲线积分

和曲面积分的定义。

（

2

）理解重积分的几何意义，第一类曲线积分和曲面积分

的物理意义。

（

3

）掌握以上三种积分的性质。

第二十章

重积分的计算及应用

1

、二重、三重积分化为累次积分法。

2

、二重积分、三重积分的换元积分法。

基本要求：

（

1

）掌握二重积分转化为累次积分的方法。

（

2

）掌握二重积分的极坐标变换，三重积分柱面坐标、球面坐标变换的积

分法。

（

3

）掌握二重积分、三重积分的一般变换的积分方法。

第二十一章

曲线积分与曲面积分的计算

1

、第一类曲线积分，曲面积分的计算。

2

、第二类曲线积分的定义与计算。

3

、第二类曲面积分的定义与计算。

4

、两类曲线积分，两类曲面积分之间的关系。

第二十二章

各种积分之间的关系

1

、格林公式。

2

、奥高公式。

3

、曲线积分与路径的关系。

基本要示：

（

1

）掌握以上主要公式的应用。

（

2

）掌握曲线积分与路径的关系的条件。

四、参考书目

《数学分析》（上、下

），

欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋，高等教育出版社，

2007

年

4

月，第三版。