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2025考研大纲:北方工业大学2025年考研自命题科目 831高等代数 考试大纲

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北方工业大学 2025 年硕士研究生招生考试大纲

考试科目名称: 高等代数 考试科目代码: 831

一、考试性质与范围

《高等代数》是数学类各专业的一门重要的专业基础必修课。它 具有较强的抽象性、逻辑性。高等代数在数学的其它分支以及其它各 个学科中都有着广泛的实际应用。

考试范围包括多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线 性空间、线性变换、λ—矩阵、欧氏空间。

二、考试基本要求

要求学生必须掌握《高等代数》的掌握高等代数的基本概念、定 理和性质;能够运用高等代数的基本理论和方法解决代数问题,具备 一定的计算和证明能力;能够分析和理解代数结构的性质和相互关 系,具备抽象思维和逻辑推理能力。

三、考试形式与分值

(一)闭卷,笔试;

(二)满分为 150 分;

(三)题型为填空、选择计算证明等。 四、考试内容

(一)多项式

数域的概念;一元多项式环的概念;带余除法,整除及其性质; 最大公因式的概念和有关定理;辗转相除法求最大公因式;互素的概 念;互素的充要条件及有关结论;不可约多项式的概念和性质;数域 P 上的因式分解及唯一性定理;重因式的概念和判定方法及有关推论; 多项式函数的概念;余数定理;根与一次因式的关系;多项式与其根 的联系、多项式与其值的联系;代数基本定理;复系数多项式因式分 解定理和实系数多项式因式分解定理;本原多项式的概念;高斯定理; 整系数多项式的全部有理根的方法;艾森斯坦因判别法。

(二)行列式

排列及其逆序数和奇偶性的概念;对换的概念及其对排列的奇偶 性的作用;n 级行列式的概念;n 级行列式的性质;行列式计算方法; 矩阵及其初等变换的概念;矩阵化为阶梯矩阵并由此求其行列式的方 法;行列式按一行(列)展开定理;克兰姆法则。

(三)线性方程组

消元法(用初等变换化线性方程组为阶梯形,判断线性方程组和 非线性方程组的解的情况,求一般解);n 向量空间的概念; 向量 组的线性相关、线性无关概念及与线性关系有关的重要结论;向量组 的最大无关组及向量组的秩的概念;矩阵的秩的概念;非齐次线性方 程组有解的充要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件;线性方 程组的基础解系、通解等概念及解的结构。

(四)矩阵

矩阵的概念;矩阵的线性运算、乘法、转置及运算规律;矩阵乘 积的行列式与秩;逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件和有关性 质;分块矩阵及其运算;由矩阵的初等变换理解矩阵的等价、秩、逆 的概念;用初等变换求矩阵秩的方法;分块矩阵的初等变换。

(五)二次型

二次型的定义及二次型的矩阵表示;合同变换;二次型的标准型; 规范形的概念及其唯一性;惯性定理;二次型的分类及相关结论;正 定二次型的概念及其判别法则;正定矩阵的概念及相关结论。

(六)线性空间

映射的概念及相关结论;线性空间的概念及相关结论;维数、基 与坐标的概念及相关结论;基变换及过渡矩阵和坐标变换公式;线性 子空间的概念及相关结论;子空间的交、和、直和的概念和相关结论; 同构的概念及相关结论。

(七)线性变换

线性变换的定义;线性变换的运算和简单性质;线性变换在基下 的矩阵及有关定理;线性变换的特征值和特征向量;特征多项式及有 关性质;线性变换的值域与核的定义和有关定理;不变子空间的定义 和有关结论;若当标准形;最小多项式的概念和应用。

(八) λ-矩阵

λ-矩阵的概念;初等变换化λ-矩阵成为标准形;不变因子;矩

阵相似的条件;行列式因子;初等因子;化复数域矩阵成为若当标准 形的方法。

(九)欧几里得空间

欧几里得空间的概念和性质;标准正交基的概念及相关结论;欧 氏空间的同构的概念及相关结论;正交变换及正交矩阵的概念及相关 结论;子空间的概念;子空间的正交及相关结论;实对称矩阵的标准 形;向量到子空间的距离;最小二乘法。

五、参考书目

(一)《高等代数》(第五版),北京大学数学系几何与代数教研 室编,高等教育出版社,2019 年;

(二)《高等代数》(上下册)(第二版),丘维声,清华大学出版 社,2019 年。

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标签: 北方工业大学研究生考试大纲

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