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重庆三峡学院 2024 年全日制硕士学位研究生招生考
试复试笔试科目考试大纲
科目名称 泛函分析
试卷满分 100 分
考试时间 120 分钟
考试方式 闭卷
试卷内容结构
度量空间与线性赋范空间，线性有界算子和线性连续泛函，内积空间和 Hilbert 空间，
Banach 空间中的基本定理。
试卷题型结构
重要概念叙述 10 小题，每小题 6分，共 60 分 ;
证明题 4小题，每小题 10 分，共 40 分 .
考试目标
选拔合格的硕士研究生新生 .
考试内容和要求
一、度量空间与线性赋范空间
考试内容 ：
第一节 度量空间的进一步例子
度量空间的概念与例子距离及度量空间的定义 ； 例子 (欧氏空间 ...等 )。
第二节 度量空间中的极限，稠密行，可分空间
度量空间中的极限 、 稠密性 、 可分空间领域的概念 ； 收敛点列 ； 有界集 ； 具体空间中收
敛性的意义 ； 稠密性与可分空间的概念 ； 不可分空间的例子。
第三节 连续映射
映射连续性的各种定义及其等价性。
第四节 Cauchy 点列与完备度量空间
度量空间中 Cauchy 点列的概念 ； 完备度量空间的定义 ； 完备度量空间与不完备度量空
间的各类例子 ； 度量空间闭子空间的完备性。
第五节 度量空间的完备化
度量空间的完备化等距同构 ； 度量空间的完备化定理 。
第六节 压缩映像原理及其应用
压缩映像的定义 ； 压缩映像原理 ； 在隐函数定理及常微分方程中的应用。
第七节 线性空间
本节内容为线性空间的基本概念 。 因学生已在高等代数课程中学过有限维空间的有关内
容，故只需简要回顾并强调无限维线性空间的特征即可。
第八节 线性赋范空间和 Banach 空间
范数 ， 线性赋范空间和 Banach 空间的概念 ； 依范数收敛 ...空间 ； 有限维赋范空间的拓扑
同构性。
考试要求：
掌握度量空间，线性赋范空间和 Banach 空间的概念和性质 ； 掌握映射连续性，度量空
间的完备性等概念 ； 透彻理解压缩映像原理及其简单应用。能独立解答基本的习题。
二、 有界 线性算子和 连续 线性泛函
考试内容：
第一节 有界线性算子与连续线性泛函
有界线性算子与连续线性泛函的概念 ， 例子 ， 有界与连续的等价性 ， 有界线性算子零空
间的性质，算子范数。
第二节 线性算子空间和共轭空间
线性算子空间的结构及其完备性 ， 共轭空间 ， 保距算子 ， 同构映照 ， 同构 ， 一些具体空
间的共轭空间。
考核要求：
掌握有界线性算子 ， 线性连续泛函 ， 有界性 ， 连续性 ， 算子范数 ， 共轭空间 ， 保距算子 ，
同构映照 ， 同构等基本概念 ； 掌握有界与连续的等价性定理 ， 基本定理 ； 能够计算简单的算
子范数和一些具体空间的共轭空间。能独立解答基本的习题。
三、内积空间和 Hilbert 空间
考试内容：
第一节 内积空间的基本概念
内积空间与 Hilbert 空间的定义，平行四边形公式，内积空间的判定。
第二节 投影定理
点到集合的距离 ， 凸集 ， 极小化向量定理 ， 集合的正交 ， Hilbert 空间的正交分解 ， 投影
算子及其性质。
第三节 Hilbert 空间中的规范 正 交系
Bessel 不等式， Parseval 恒等式，规范直交系的定义与判定 ,Gram-Schmidt 正交化过程 ，
Hilbert 空间的同构。
第四节 Hilbert 空间上的连续线性泛函
Riesz 表示定理，共轭算子及其性质。
第五节 自伴算子、 酉算子和正常算子
自伴算子、 酉算子和正常算子的基本概念与简单性质。
考试要求：
掌握内积空间， Hilbert 空间，平行四边形公式，规范 正 交系， Bessel 不等式， Parseva l
恒等式 ， 投影算子 ， 共轭算子 ， 自伴算子 ， 酉算子和正常算子等基本概念 ； 掌握极小化向量
定理，投影定理，规范直交系的判定定理 ， Riesz 表示定理等基本定理的内容与证明。能独
立解答基本的习题。
四、 Banach 空间中的基本定理
考试内容：
第一节 泛函延拓定理
次线性泛函， Hahn-Banach 泛函延拓定理的实形式及其推论。
第二节 C[a,b] 的共轭空间
C[a,b] 的共轭空间、 Riesz 表示定理 。
第三节 共轭算子
线性赋范空间中共轭算子的定义及性质。
第 四 节 纲定理和一致有界性定理
第一纲集，第二纲集， Baire 纲定理 ， 一致有界性定理
第五节 强收敛、弱收敛和一致收敛
强收敛、弱收敛和一致收敛的定义，例子，相互关系，强收敛的充要条件。
第 六 节 逆算子定理
逆算子定理及其证明。
第七节 闭图象定理
线性算子的图象，闭算子，闭图象定理。
考试要求：
掌握本章涉及到的所有基本概念，基本定理 ； 由于 Hahn-Banach 延拓定理， Riesz 表示
定理， Baire 纲定理，逆算子定理，闭图象定理是泛函分析基础理论的主要构成部分，要求
熟练掌握这些内容 。 能独立解答基本的习题。
参考书目
1、 程其襄等，《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社， 2019 ， 第四版。
2、 王声望 ， 郑维行 ，《 实变函数与泛函分析概要 》 ， 第二册 ， 高等教育出版社 ， 2010 ，
第二版。
3、 张恭庆 ,林源渠 ， 泛函分析讲义 (上 )，北京：北京大学出版社， 1987 年。
备注
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