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上海工程技术大学
硕士研究生入学考试《数学分析》初试考试大纲
考试科目：数学分析
考试代码：613
考试参考书目：哈尔滨工业大学数学学院，《大学数学—工科数学分析（上、下）》（第7版），高等教育出版社，2023年
考试总分：150分
考试时间：3小时
一、考试目的与要求
《数学分析》考试大纲适用于统计学专业硕士研究生入学考试，其目的是考察考生对数学分析最基本内容的理解、掌握和熟练程度。要求考生熟悉数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，具有较强的抽象能力、逻辑推理能力和运算能力。
通过《数学分析》课程的学习和考试，要求考生：
1. 能够系统地掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，具备独立获取数学知识的能力，为进一步学习其他数学专业课程打下坚实基础；
2. 能够运用数学分析的理论知识和论证方法进行具体分析问题和解决问题的基本能力。
二、考试的基本内容与要求
第1章 函数
考试内容：
函数的概念及表示法；函数的基本性质；反函数；复合函数。
考试要求：
1、理解函数的概念，掌握函数的表示法；
2、了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性；
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念；
4、掌握基本初等函数的性质及图形，了解初等函数的概念。
本章复习重点：
函数的概念及性质。
第2章 极限与连续
考试内容：
数列极限与函数极限的概念及性质；函数左、右极限；无穷小量与无穷大量的概念及关系；无穷小量的比较；极限的四则运算；极限存在的条件：单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：<Object: word/embeddings/oleObject1.bin>；函数连续的概念；函数间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质。
考试要求：
1.理解极限的概念，理解函数左右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限的关系；
2.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算；
3.理解无穷小量和无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法；
4.理解函数连续性的概念（含左、右连续），会判断函数间断点的类型；
5.掌握闭区间上连续函数的性质：有界性、最大值和最小值定理、零点存在定理，并会利用这些性质。
本章复习重点：
熟练掌握两个重要极限：<Object: word/embeddings/oleObject2.bin>；
掌握无穷小的比较，重点掌握利用等价无穷小替换求函数极限；
掌握函数间断点的类型，熟练掌握函数定义域的求法；
掌握闭区间上连续函数的零点定理。
第3章 导数与微分
考试内容：
导数和微分的概念；导数的几何意义；函数连续与可导之间的关系；导数与微分的四则运算；基本初等函数的导数；复合函数、反函数及隐函数的求导；一阶微分形式的不变性；参变量函数的导数；高阶导数。
考试要求：
1.理解导数的概念及可导与连续之间的关系，了解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程；
2.掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数；
3.了解微分的概念，了解导数与微分之间的关系及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分；
4.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数，如幂函数、指数函数及正弦和余弦函数的高阶导数。
本章复习重点：
熟练掌握复合函数的求导；
熟练掌握隐函数求导法。
第4章 微分中值定理与导数的应用
考试内容：
微分中值定理；洛必达法则；函数单调性的判别；函数的极值；函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；函数图形的描绘；函数的最大值与最小值。
考试要求：
1.理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解柯西中值定理；
2.掌握用洛必达法则求未定式极限方法；
3.掌握函数单调性判别法，了解函数极值概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法；
4.会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间<Object: word/embeddings/oleObject3.bin>内，设<Object: word/embeddings/oleObject4.bin>具有二阶导数，当<Object: word/embeddings/oleObject5.bin>时，<Object: word/embeddings/oleObject6.bin>的图形是凸（也称下凸）的；当<Object: word/embeddings/oleObject7.bin>时，<Object: word/embeddings/oleObject8.bin>的图形是凹（也称上凸）的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线；
5.会描述函数的图形。
本章复习重点：
熟练掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；
熟练掌握函数的单调性、凹凸性的判别；
掌握函数图形的描述（渐近线）。
第5章 不定积分
考试内容：
原函数与不定积分的概念；不定积分的性质；不定积分的基本积分公式；不定积分的换元法和分部积分法。
考试要求：
1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式；
2.掌握不定积分的换元积分法与分部积分法。
本章复习重点：
熟练掌握不定积分的换元积分法与分部积分法。
第6章 定积分
考试内容：
定积分的概念；牛顿—莱布尼茨公式；积分中值定理；积分上限函数的导数；定积分的换元法和分部积分法；反常积分概念；无穷积分的性质与收敛判别；瑕积分的性质与收敛判别；定积分的应用（如面积、旋转体的体积等）。
考试要求：
1.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分的中值定理；
2.理解积分上限函数并会求它的导数；
3.掌握牛顿—莱布尼茨公式以及定积分的换元法和分部积分法；
4.会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积；
5.了解反常积分的收敛的比较判别法，会计算反常积分。
本章复习重点：
掌握牛顿—莱布尼茨公式；
熟练掌握定积分的换元法和分部积分法计算定积分；
熟练掌握平面图形的面积。
第7章 微分方程
考试内容：
常微分方程的基本概念；变量可分离的微分方程；齐次微分方程；一阶线性微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程及简单的常系数非齐次线性微分方程；线性微分方程组及其通解结构；常系数齐次线性微分方程组。
考试要求：
1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念；
2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法；
3.掌握线性微分方程解的性质及解的结构；
4.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；
5.会解自由项（高数里面一般叫非齐次项）为多项式、指数函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。
本章复习重点：
熟练掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法；
熟练掌握自由项常系数非齐次线性微分方程的解法。
第8章 多元函数微分学
考试内容：
多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限与连续的概念；有界闭区域上二元连续函数的性质；多元函数偏导数的概念与计算；多元复合函数的求导法二阶偏导数；全微分；梯度和方向导数；多元隐函数求导法；多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值；偏导数的几何应用；空间曲线的切线和法平面；空间曲面的切平面和法线。
考试要求：
1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义；
2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。
3.了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分；
4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值；
5.了解多元函数的梯度，会求多元函数的方向导数。
6.会求空间曲线的切线和法平面，会求空间曲面的切平面和法线；
7.会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
本章复习重点：
熟练掌握复合函数一阶、二阶偏导数及全微分；
熟练掌握求条件极值的拉格朗日乘数法。
第9章 多元函数积分学
考试内容：
二重积分和三重积分的概念及性质；直角坐标系下二、三重积分的计算；极坐标系下二重积分的计算；柱面坐标系下三重积分的计算；球面坐标系下三重积分的计算；第一型曲线积分的概念及计算；第一型曲面积分的概念及计算。
考试要求：
1.了解二重积分和三重积分的概念及性质，会计算直角坐标系下的二重积分，会用极坐标变换计算二重积分，会用柱面坐标、球面坐标变换计算三重积分；
2.了解第一型曲线积分和第二型曲线积分的概念，会利用第一型曲线积分求线状构件的质量；
3.了解第一型曲面积分和第二型曲面积分的概念，会利用第一型曲面积分求曲面状构件的质量。
本章复习重点：
重点掌握二重积分和三重积分的几何意义；
掌握第一型曲线积分的计算；
掌握第一型曲面积分的计算。
第10章 第二型曲线积分与第二型曲面积分、向量场
考试内容：
第二型曲线积分的概念及性质；格林公式、平面曲线积分与路径无关的条件、保守场；第二型曲面积分的概念及性质；高斯公式、通量与散度；斯托克斯公式、环量与旋度。
考试要求：
1.了解第二型曲线积分的概念及性质，会利用第二型曲线积分求质点在变力作用下沿曲线作功；
2.掌握格林公式，理解曲线积分与路径无关的四个等价命题；
3.了解第二型曲面积分的概念及性质；
4.掌握高斯公式，会利用高斯公式求第二型曲面积分；
5.了解斯托克斯公式，会求向量函数的散度和旋度。
本章复习重点：
熟练掌握格林公式并能利用格林公式计算曲线积分；
熟练掌握曲线积分与路径无关的四个等价命题；
掌握高斯公式并能利用高斯公式计算曲面积分。
第11章 无穷级数
考试内容：
常数项级数的收敛与发散的概念；收敛级数和的概念；级数的基本性质与收敛的必要条件；几何级数与p级数及其收敛性；正项级数收敛性的判别法；任意项级数的绝对收敛与条件收敛；交错项级数与莱布尼茨定理；函数列与函数项级数一致收敛的概念；一致收敛函数列与函数项级数的性质；幂级数的概念及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域；幂级数的和函数；幂级数在其收敛区间内的基本性质；简单幂级数的和函数的求法；初等函数的幂级数展开。
考试要求：
1.理解常数项级数的收敛、发散以及收敛级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；
2.掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件；
3.掌握正项级数收敛的比较判别法、比值判别法、根值判别法；
4.掌握交错级数收敛的莱布尼茨判别法；
5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及级数绝对收敛与收敛之间的相互关系。
6.了解函数列与函数项级数一致收敛的概念；
7.了解一致收敛函数列与函数项级数的性质，如连续性、可积性、可微性等。
8.理解幂级数的收敛半径的概念，并掌握幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；
9.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质：和函数的连续性、逐项求导和逐项积分等性质；
10.会求一些简单幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和；
11.掌握一些基本初等函数（如：<Object: word/embeddings/oleObject9.bin>等）的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数。
本章复习重点：
掌握正项级数收敛的比较判别法及交错级数收敛的莱布尼茨判别法；
掌握某些简单幂级数的和函数（如：<Object: word/embeddings/oleObject10.bin>等），并通过逐项求导或逐项积分求解相关幂级数的和函数；
掌握一些基本初等函数（如：<Object: word/embeddings/oleObject11.bin>等）的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数。
三、考试题型
1. 单项选择题 （约30分）
2. 计算题 （约100分）
3. 证明题 （约20分）
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