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2025考研大纲:西北师范大学2025年考研加试 7008微分几何考试大纲

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硕士研究生招生考试

同等学力加试

微分几何 考试大纲

(科目代码:7008)

学院名称(盖章): 数学与统计学院

学院负责人(签字):

编 制 时 间: 202491

微分几何考试大纲

一、考核要求

理解曲线论和曲面中的一些基本概念,准确掌握研究微分几何的常用方法和基本结论。能够以此为基础研究现代微分几何学,能够理论联系实际、分析和解决实际几何问题。

二、考核要点

第一章考核曲线论的基本概念、基本公式和基本方法;第二章考核正则参数曲面的概念,曲面的第一、二基本形式,曲面的各种曲率、曲面上的各种方向和对应曲线,特殊曲面的几何意义和几何特征;第三章考核等距对应和共形对应的基本概念,测地曲率的计算,测地线方程和基本性质,Gauss-Bonnet公式及重要结论,特殊曲面,理解测地曲率和测地线是内蕴几何概念,了解协变微分。

三、考核内容

曲线论

曲线的概念

Frenet标架

空间曲线的曲率和挠率

曲线轮的基本定理

密切曲面

特殊曲线

说明:掌握曲线的概念,空间曲线的基本三棱形,曲率挠率和Frenet公式。掌握特殊曲线:平面曲线,一般螺线。掌握曲线上一点邻近的结构和空间曲线论的基本定理。

曲面论

正则曲面的概念

曲面的第一基本形式

曲面的第二基本形式

法曲率与Weingarten变换

主曲率、Gauss曲率和平均曲率

渐近方向与渐近线、主方向与曲率线

特殊曲面

曲面论的基本定理

说明:掌握正则参数曲面的概念,掌握并能熟练计算曲面的第一基本形式、曲面的第二基本形式、各种曲率,理解曲面上的特殊方向(指渐近方向和主方向)和特殊曲线(指渐近线和曲率线)的几何意义。掌握可展曲面的几何意义和几何特征,懂得Gauss曲率是内蕴量,理解曲面论的基本定理。

第三章 曲面的内蕴几何

等距对应与共形对应

测地曲率与测地线

Gauss-Bonnet公式

协变微分

常高斯曲率的曲面

说明:理解等距对应的意义。熟练掌握测地曲率的计算,掌握测地线的方程和基本性质。熟记Gauss-Bonnet公式及几个重要推论。了解协变微分是欧氏平面上普通导数概念在曲面上的推广。理解测地曲率和测地线是内蕴几何概念。掌握常高斯曲率曲面。

四、参考书目

1. 陈维桓编著,《微分几何》,北京大学出版社,2006年.

2. 苏步青,胡和生等,《微分几何》,高等教育出版社,1994年.

3. 梅向明,黄敬之编,《微分几何》(第四版),高等教育出版社,2008年.

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标签: 西北师范大学研究生考试大纲

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