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考试科目：高等代数
考试形式：笔试(闭卷)
考试时间：180分钟
考试总分：150分
一、总体要求
对高等代数基本概念把握准确，高等代数课程中的基本理论和基本方法，考查综合运用所学知识解决问题的能力。
二、内容
1. 预备知识
(1) 连加符号与连乘符号;
(2) 数域的基本概念和基本性质;
(3) 集合的笛卡尔积与集合上的等价关系, 基本的代数系统: 群.
2. 矩阵
(1) 矩阵的基本概念, 常见的特殊矩阵;
(2) 矩阵的加法、数乘、转置、乘法和求逆运算;
(3) 逆矩阵的概念、性质及其若干等价刻画, 逆矩阵计算的基本原理;
(4) 初等变换与初等矩阵的关系, 消元法求解方程组的方法, 初等变换化矩阵为行简化阶梯形的方法;
(5) 矩阵的常见分块运算与性质.
3. 行列式
(1) 行列式的递归定义, 行列式定义的几何意义;
(2) 行列式的各种性质;
(3) 行列式的计算;
(4) 行列式展开的拉普拉斯定理;
(5) 伴随矩阵的概念、性质与计算, 克兰姆法则求解非齐次线性方程组;
(6) 矩阵秩的概念及其相关性质, 矩阵的相抵标准形, 分块矩阵初等变换证明矩阵秩等式与不等式.
4. n维向量空间
(1) 数域上n维向量空间中的基本概念;
(2) 向量组的线性组合, 线性表出与线性相关性等基本概念、性质与相关定理;
(3) 向量组的秩与极大无关组的基本概念;
(4) 一般线性方程组解的结构, 线性方程组求解的基本方法.
5.多项式
(1) 多项式的基本概念, 多项式的带余除法与综合除法;
(2) 因式、公因式、最大公因式与最小公倍式的概念, 最大公因式的基本性质及其计算;
(3) 数域F上不可约多项式的基本概念、性质与定理;
(4) 实系数与复系数多项式的因式分解定理;
(5) 本原多项式的概念和性质, 有理数域上多项式可约性与整数环上多项式可约性的关系;
(6) 多项式根与系数关系的韦达定理, 有理系数多项式的有理根判别方法, 有理数域上不可约多项式的判别方法.
6. 线性空间
(1) F-空间的各种基本概念, 如线性运算、维数、基与坐标、基变换与子空间;
(2) 子空间的交、和的概念、性质与定理;
(3) 两个子空间直和的概念, 两个子空间做成直和的若干等价刻画, 多个子空间直和的概念与刻画;
(4) 线性空间同构的概念与性质.
7. 线性变换
(1) 线性映射、线性变换的概念, 性质.
(2) 对给定的线性空间, 经由基底线性变换与矩阵的一一对应以及运算上面的对应. 能运用这种对应关系来转化问题.
(3) 线性变换的特征值, 特征向量; 矩阵的特征值, 特征向量. 线性变换与矩阵的特征值特征向量之间的联系. 特征值和特征向量的计算及相关证明.
(4) 线性变换(矩阵)特征值, 特征向量与矩阵能否相似对角化的关系.
(5) 线性变换的值域和核的概念, 不变子空间的概念及其与矩阵化简的关系.
(6) 对偶空间的定义及性质.
8. Jordan标准形与λ-矩阵
(1) 矩阵最小多项式的概念, 与特征多项式和零化多项式的紧密关联, 最小多项式与相似对角化的关系.
(2) 幂零与半单线性变换的概念和性质, 中国剩余定理及其计算.
(3) 矩阵的Jordan-Chevalley分解, 循环不变子空间的概念.
(4) λ-矩阵的概念和性质, 相抵标准形的存在唯一性, 相抵标准形的计算, 不变因子组与各阶行列式因子的概念与关联.
(5) λ-矩阵相抵与矩阵相似的关系, 矩阵的有理标准形的概念和计算.
(6) 初等因子组的概念和性质, Jordan标准形的理论、计算及其应用.
9. 欧氏空间
(1) 欧氏空间的定义及性质, 欧氏空间同构的意义和结论, QR分解与LU分解;
(2) 欧氏空间中内积, 长度, 夹角, 在给定基下度量矩阵的概念, Cauchy不等式的证明及应用;
(3) 标准正交基的相关概念和性质, Scmidt正交化方法
(4) 正交变换, 正交矩阵以及标准正交基之间的关系与联系.
(5) 实对称矩阵正交对角化的理论, 计算以及应用.
10. 二次型与双线性函数
(1) 二次型及其矩阵表示, 合同变换与合同矩阵, 二次型的秩等概念
(2) 用配方法化二次型为标准形, 惯性定理, 标准形和规范形, 二次型及其矩阵的正定性判定与计算.
(3) 用正交替换化二次型为标准形的计算.
(4) 双线性函数的定义, 概念及其性质.
三、题型及分值比例
填空题: (20%)
计算题: (40%)
证明题: (40%)
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