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重庆三峡学院 2024 年全日制硕士学位研究生招生考
试复试笔试科目考试大纲
科目名称 数学学科基础
试卷满分 100 分
考试时间 120 分钟
考试方式 闭卷
试卷内容结构
高等数学 约 60 %; 高等代数 约 40 %.
试卷题型结构
填空题 5小题，每小题 2分，共 10分 ;
计算题 9小题，每小题 10分，共 90分 .
考试目标
选拔合格的硕士研究生新生 .
考试内容和要求
— 、函数、极限、连续
考试内容 ： 数列的极限 、 函数的极限 、 无穷小与无穷大 、 极限运算法则 、 极限存在准则 、
两个重要极限 、 无穷小的比较 、 函数的连续性与间断点 、 连续函数的运算与初等函数的连续
性、闭区间上连续函数的性质 .
考试要求：
1. 理解 极限 的概念、运算法则、明确 连续性与间断点 、理解 闭区间上连续函数的性质 .
2. 掌握 两个重要极限 、会 无穷小的比较 .
3. 会用等价无穷小代换法求极限 .
二、导数与微分
考试内容：
导数概念 、 函数的求导法则 、 高阶导数 、 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 、 函
数的微分 .
考试要求：
1. 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则 ， 熟练掌握基本初等函数的导数
公式，会求分段函数及抽象函数的导数 .
2. 了解高阶导数的概念 ， 会求某些简单函数 (幂函数 、 指数函数 、 正弦函数 、 余弦函数 )
的 n阶导数，理解求两个函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式 .
3. 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶导数 .
4. 理解微分的概念 ， 会求函数的微分 ， 理解微分的四则运算法则 ， 了解一阶微分形式不
变性 .
三 、微分中值定理与导数的应用
考试内容：
微分中值定理 、 洛必达法则 、 泰勒公式 、 函数的单调性与曲线的凹凸性 、 函数的极值与
最大值最小值、函数图形的描绘 .
考试要求：
1. 理解并会用罗尔定理 、 拉格朗日中值定理 ， 了解柯西中值定理 ， 能利用中值定理证明
不等式 和 恒等式 .
2. 重点掌握用洛必达 求极限有方法 .
3. 了解泰勒 (Taylor) 中值定理及麦克劳林公式 .
4. 掌握用导数判断函数的单调性和凹凸性的方法 .
5. 理解函数的极值概念 ， 求函数极值的方法 ， 掌握函数最大值和最小值的求法 ， 能通过
建立数学模型解决简单优化问题 .
6. 掌握水平渐近线及铅直渐近线的求法 ， 了解斜渐近线的求法 ， 了解函数图形的描绘步
骤及方法 .
四、不定积分 、定积分及其应用
考试内容：
不定积分的概念与性质 、 换元积分法 、 分部积分法 、 有理函数的积分 、 定积分的概念与
性质 、 微积分基本公式 、 定积分的换元法和分部积分法 、 反常积分 、 定积分的元素法 、 定积
分在几何上的应用、定积分在物理学上的应用 .
考试要求：
1. 理解原函数 和 不定积分的概念 .掌握不定积分的性质，掌握不定积分的基本公式 .
2. 掌握不定积分的第一换元积分法，了解第二换元积分法 .
3. 掌握不定积分的分部积分法 .
4. 会求有理函数的积分、了解三角函数有理式和简单无理函数的积分的方法 .
5. 理解定积分的概念及性质 ， 了解对定积分进行估值的方法 ， 能利用积分中值定理求函
数的平均值 .
6. 理解变上限函数的概念，理解变上限函数求导公式， 能正确 计算定积分 .
7. 掌握定积分的换元积分法与分部积分法，能通过这两种方法计算定积分 .
8. 解用元素法建立定积分表达式的方法 .
9. 掌握平面图形的面积计算方法会求用平面曲线弧的弧长 ， 会求平行截面面积为已知的
立体体积、会求旋转体的体积 .
五、微分方程
考试内容：
4. 微分方程的基本概念 、 可分离变量的微分方程 、 齐次方程 、 一阶线性微分方程 、 可降
阶的高阶微分方程 、 高阶线性微分方程 、 二阶常系数齐次线性微分方程 、 二阶常系数非齐次
线性微分方程 .
考试要求：
1. 了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特解等概念 .
2. 熟练掌握变量可分离的微分方程的解法 .
3. 能正确识别齐次方程并会解齐次方程 .
4. 熟练掌握一阶线性微分方程的解法 .
5. 会用降阶法解可降阶的三类微分方程 .
6. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理 .
7. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法 ， 了解某些特殊的高于二阶的常系数齐次线
性微分方程的解法 .
六、多元函数微分学
考试内容：
多元函数的基本概念 、 偏导数 、 全微分 、 多元复合函数的求导法则 、 隐函数的求导公式 、
多元函数微分学的几何应用、方向导数与梯度、多元函数的极值及其求法 .
考试要求：
5. 理解多元函数的概念了解二元函数的极限与连续性等概念 ， 了解有界闭区域上的连续
函数的性质，理解二重极限与二次极限及其关系 .
6. 理解多元函数偏导数和全微分的概念 ， 能计算偏导数 ， 了解高阶偏导数的概念 ， 了解
两个二阶混合偏导数相等的条件 .
7. 理解并会求全微分 ， 理解函数可微分 、 偏导数存在 、 偏导数连续及函数连续之间的关
系 .
8. 掌握多元复合求全导数及偏导数的链式方法，了解全微分形式不变性 .
9. 会求一元隐函数的导数及二元隐函数的偏导数 ， 了解由方程组确定的隐函数的偏导数
的求法 .
10. 了解一元向量值函数 ， 了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念 ，
会求它们的方程 .
11. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法，了解梯度的几何意义 .
12. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二
元函数极值存在的充分条件 ， 会求二元函数的极值 ， 会求条件极值 ， 会求简单多元函数的最
大值和最小值，并会解决一些简单的优化问题 .
七、重积分
考试内容：
二重积分的概念与性质、二重积分的计算法、三重积分、重积分的应用
考试要求：
1. 理解二重积分的概念，了解二重积分的性质，理解二重积分的中值定理 .
2. 掌握分别用直角坐标及极坐标计算二重积分的计算方法，会求空间几何体的体积 .
3. 理解三重积分的概念 ， 理解三重积分的性质 ， 掌握利用直角坐标 、 柱面坐标计算三重
积分的方法 .了解通过球面坐标计算三重积分的方法 .
4. 会用重积分求平面图形的面积、曲面的面积、空间几何体的体积 .
八、曲线积分与曲面积分
考试内容：
对弧长的曲线积分 、 对坐标的曲线积分 、 格林公式及其应用 、 对面积的曲面积分 、 对坐
标的曲面积分、高斯公式 .
考试要求：
1. 理解对弧长的曲线积分的概念，了解对弧长的曲线积分的性质 .掌握对弧长的曲线积
分的计算方法 .会用对弧长的曲线积分计算曲线的弧长及曲线型构件的质量 .
2. 理解对坐标的曲线积分的概念，了解对坐标的曲线积分的性质 .掌握计算对坐标的曲
线积分的方法 .了解两类曲线积分的关系 .
3. 熟练掌握格林公式，了解平面曲线积分与路径无关的条件 .能用格林公式计算对坐标
的曲线积分，了解用曲线积分计算平面区域的面积的公式 .
4. 了解对面积的曲面积分的概念、了解对面积的曲面积分的计算方法 .
5. 了解对坐标的曲面积分的概念、掌握计算对坐标的曲面积分的方法 .了解两类曲面积
分的关系 .
6. 理解高斯公式，会用高斯公式计算对坐标的曲面积分 .
九、无穷级数
考试内容：
常数项级数的概念和性质 、 常数项级数的审敛法 、 幂级数 、 函数展开成幂级数 、 函数的
幂级数展开式的应用、傅里叶级数、一般周期函数的傅里叶级数 .
考试要求：
1. 理解常数项级数的收敛 、 发散以及收敛级数的和的概念 ， 掌握级数的基本性质 ， 重点
掌握级数收敛的必要条件 ,掌握等比级数收敛的条件 .
2. 掌握正项级数收敛性的比较审敛法 、 比值审敛法 、 根值审敛法 ， 掌握交错级数的莱布
尼茨审敛法 ，了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念 ，理解绝对收敛与条件收敛的关系 .
3. 了解函数项级数的收敛域及函数项级数的和函数的概念 .理解幂级数收敛半径及收敛
域的概念，掌握幂级数的收敛半径及收敛域的求法，掌握幂级数的运算 (和函数和连续性、
逐项积分与逐项求导 )，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，会求出某些常数项级数的
和 .
4. 了解函数能展开成泰勒级数的条件 ， 理解用直接法将函数展开成泰勒级数的方法 ， 掌
握 ,sin,cosxexx ， ln(1) x 和 (1) a 的麦克劳林展开式 ，会在这些展开式的基础上借助间接法
（代换法、逐项求导法、逐项积分法）将一些简单函数展开成幂级数 .
十、 行列式
考试内容： 行列式 、 行列式按行（列）展开定理 、 克莱姆法则 .
考试要求：
1. 掌握 n阶行列式的概念 .
2. 能正确地运用行列式的性质和计算行列式的技巧，较熟练地计算行列式 .
3. 掌握行列式按行（列）展开定理，并能较熟练地应用 .
4. 掌握克莱姆法则 .
5. 了解拉普拉斯定理 .
十一、 线性方程组
考试内容 ： 消元法 、 矩阵初等变换 、 解一般线性方程组 、 矩阵的慨念 、 矩阵的秩 、 线性
方程组有解判别定理、解的个数定理及其应用 、 齐次线性方程组有非零解的充要条件 .
考试要求：
1. 理解消元法与矩阵初等变换的关系，能熟练地运用矩阵的初等变换解一般线性方程
组 .
2. 理解和掌握矩阵的慨念，会熟练地用初等变换求矩阵的秩 .
3. 掌握线性方程组有解的判别定理、解的个数定理及其应用 .
4. 掌握 n个方程 n个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 .
十二、 矩阵
考试内容 ：矩阵的相关概念 、 运算及其性质 、可逆矩阵的判定及其性质 ， 逆矩阵的求法 、
初等变换、标准形 .
考试要求：
1. 掌握矩阵的运算及其性质 .
2. 掌握可逆矩阵的概念 、 可逆矩阵的判定及其性质 ， 会用求逆公式 ， 能用初等变换求逆
矩阵 .
3. 掌握矩阵乘积的行列式与秩的性质 .
4. 掌握矩阵的初等变换与初等矩阵的关系，掌握矩阵的初等变换与矩阵乘法的关系 .
5. 掌握矩阵的等价标准形的概念，能将任意 n m 矩阵化为等价标准形，并能用式子正
确地、完整地反映两者（一般矩阵与特殊的等价标准化）之间的关系 .
6. 掌握分块矩阵的概念及其运算法则，并能应用 .
十三、 多项式
考试内容 ： 一元多项式的概念 、 运算 、 多项式整除 、 整除与带余除法 、 最大公因式的概
念 、 性质 、 求法以及多项式互素的概念和性质 、 不可约多项式的概念 、 多项式的因式分解定
理 、 多项式的微商及重因式的概念 、 重因式的性质 、 多项式有无重因式的判别方法 、 多项式
函数及多项式根的概念 、 复数域 、 实数域上多项式的因式分解定理 、 本原多项式的性质及其
有理数域上因式分解定理 、 艾森斯坦因判别法，有理系数多项式的有理根 .
考试要求：
1. 掌握数域 P上一元多项式的概念、运算，以及多项式的和与积的次数 .
2. 理解多项式整除的概念，掌握其性质，并能掌握整除与带余除法的关系 .
3. 掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质 .
4. 理解不可约多项式的概念，了解多项式的因式分解定理 .
5. 理解多项式的微商及重因式的概念 ， 掌握重因式的性质 ， 掌握多项式有无重因式的判
别方法 .
6. 掌握多项式函数及多项式根的概念，并了解多项式由形式观点向函数观点的转变 .
7. 了解复数域、实数域上多项式的因式分解定理 .
8. 掌握本原多项式的性质及其有理数域上因式分解定理 .掌握艾森斯坦因判别法，会求
有理系数多项式的有理根 .
9. 了解多元多项式、对称多项式及字典排列法，了解对称多项式基本定理 .
十四、 二次型
考试内容：
二次型的标准形 、复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性 、惯性定理 、正定二次型 、
正定矩阵的性质及判定 、 半正定二次型和负定二次型的性质和判定 .
考试要求：
1. 了解二次型的标准形，掌握二次型化为标准形的方法 .
2. 掌握复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性，掌握惯性定理 .
3. 掌握正定二次型、正定矩阵的概念，掌握正定二次型、正定矩阵的性质及判定 .
4. 了解半正定二次型和负定二次型的性质和判定 .
十五、 线性空间
考试内容 ： 线性空间的概念及其简单性质 、 公理化的思想方法 、 线性空间的子空间的概
念和判别 、 子空间的交与和的概念 、 向量组的线性相关性的概念及其性质 、 有限维线性空间
的基和维数的概念及其求法 、 线性空间中向量的坐标 、 基变换及其坐标变换公式 、 过渡矩阵
的概念 、 线性空间同构的意义 、 有限维空间同构的充要条件 、 齐次线性方程组 、 非齐次线性
方程组解的结构，齐次线性方程组的基础解系 .
考试要求：
1. 掌握线性空间的概念及其简单性质，初步了解公理化的思想方法 .
2. 掌握线性空间的子空间的概念和判别方法，掌握子空间的交与和的概念 .
3. 理解和掌握向量组的线性相关性的概念及其性质
4. 掌握有限维线性空间的基和维数的概念及其求法 ， 了解它在线性空间理论中所起的重
要作用 .
5. 掌握线性空间中向量的坐标、基变换及其坐标变换公式、过渡矩阵的概念 .
6. 理解线性空间同构的意义 ,掌握其性质，并掌握有限维空间同构的充要条件 .
7. 掌握齐次线性方程组 、 非齐次线性方程组解的结构 ， 能熟练地求出齐次线性方程组的
基础解系 .
十六、 线性变换
考试内容 ： 线性变换的概念 、 线性变换的运算及其性质 、 线性变换关于某个基的矩阵表
示 、 线性变换与关于某个固定基的矩阵间的一一对应关系 、 矩阵的相似及特征根 、 特征向量
的概念 、 矩阵对角化的条件及其方法 、 线性变换的值域 、 核 、 不变子空间的概念 、 若当标准
形、最小多项式的概念 .
考试要求：
1. 理解线性变换的概念，掌握它的运算及其性质 .
2. 掌握线性变换关于某个基的矩阵表示 ， 理解线性变换与关于某个固定基的矩阵间的一
一对应关系 .
3. 理解矩阵的相似及特征根、特征向量的概念，能熟练地求出特征根、特征向量 .掌握
矩阵对角化的条件及其方法 .
4. 理解线性变换的值域、核、不变子空间的概念，并掌握其有关结论，且能应用 .
5. 理解若当标准形、了解最小多项式的概念 .
十七、 欧氏空间
考试内容 ： 内积 、 欧氏空间 、 向量的长度 、 两向量夹角等 、 柯西 —— 布涅柯夫斯基不等
式 、 标准正交基的概念及其性质 ， 标准正交基的作用 ， 会求标准正交基 、 欧氏空间同构的概
念 ， 掌握欧氏空间同构的充要条件 、 掌握正交子空间的概念及其性质 、 正交变换与正交矩阵
的概念 、 性质 、 它们间的关系 、 对称变换与对称矩阵的概念 、 性质 ， 它们间的关系 、 用正交
线性替换化实二次型为平方和 .
考试要求：
1. 掌握内积 、 欧氏空间 、 向量的长度 、 两向量夹角等概念 ， 掌握柯西 —— 布涅柯夫斯基
不等式 .
2. 掌握标准正交基的概念及其性质，理解标准正交基的作用，会求标准正交基 .
3. 理解欧氏空间同构的概念，掌握欧氏空间同构的充要条件 .
4. 掌握正交子空间的概念及其性质 .
5. 理解和掌握正交变换与正交矩阵的概念、性质，理解它们间的关系 .
6. 理解和掌握对称变换与对称矩阵的概念、性质，理解它们间的关系
7. 掌握用正交线性替换化实二次型为平方和 .
参考书目
(1) 同济大学数学系 .高等数学 [M]. 北京：高等教育出版社， 202 2.
(2) 王帅 .高等数学 [M]. 同济大学 出版社， 202 2.
(3)张禾瑞 郝炳新 编 高等代数 [M] ， 高等教育出版社， 2022.
(4)王萼芳 ， 高等代数教程 [M] ， 清华大学出版社王萼芳
备注
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