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2023年研究生入学考试大纲 - 高等代数
考试的基本要求：
要求考生系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
考试内容和考试要求：
一、多项式理论
考试内容
多项式的相关概念和基本性质 一元多项式的带余除法 最大公因式的性质
不可约因式和多项式唯一分解定理
考试要求
1.理解和掌握基本概念，如整除、不可约性、互素、重因式等，熟悉一元多项式最大公因式的性质，知道多项式在复数域、实数域及有理数域上分解的特殊性。
2.熟悉带余除法和辗转相除法，准确理解多项式唯一分解定理，能够理解和运用余数定理和重因式判定定理。
3.理解高斯(Gauss)引理，能够运用艾森斯坦(Eisenstein)判别法判定整系数多项式在有理数域上的不可约性。
4.理解代数基本定理，能够在不同数域上进行多项式的不可约因式分解。
二、行列式
考试内容
行列式的概念和基本性质 行列式计算行列式按行(列)展开定理行列式的乘法法则
考试要求
1.理解行列式的概念，掌握行列式的性质、行列式的乘法法则。
2.会应用行列式概念和基本性质计算行列式，能够熟练掌握行列式按行(列)展开定理，能够计算一些经典类型的行列式。
三、向量和矩阵
考试内容
向量的线性组合和线性表示 向量组的等价 向量组的线性相关与线性无关
向量组的极大线性无关组向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系
矩阵的概念 矩阵的基本运算 矩阵的转置 伴随矩阵 逆矩阵的概念和性质
矩阵可逆的充分必要条件 矩阵的初等变换和初等矩阵 矩阵的秩
矩阵的等价 分块矩阵及其运算
考试要求
1.理解n维向量、向量的线性组合与线性表示等概念。
2.理解向量组线性相关、线性无关的定义、熟练掌握判断向量组线性相关、线性无关的方法。
3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。
4.理解向量组等价的概念、清楚向量组的秩与矩阵秩的关系。
5.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，熟悉它们的基本性质。
6.掌握矩阵的数乘、加法、乘法、转置等运算。了解方阵的多项式概念。
7.理解逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的判别条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。
8.掌握矩阵的初等变换、初等矩阵的性质和矩阵等价的条件，理解矩阵的秩的概念，了解矩阵的秩与行列式的关系。了解矩阵乘积的秩与因子矩阵的秩的关系，了解n阶方阵非退化的概念及充分必要条件，熟练掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。
9.熟悉分块矩阵及其运算。
四、线性方程组
考试内容
线性方程组的克拉默(Cramer)法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构
齐次线性方程组的基础解系和通解 解空间及其维数 非齐次线性方程组的通解
考试要求
1.会用克拉默法则求解线性方程组。
2.掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。
3.熟练掌握齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。
4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。
5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。
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