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| 武汉纺织大学预发布2023年硕士研究生入学考试自命题大纲 | |||
| 考试科目代码 | 考试科目名称 | 考试大纲 | 参考书目 |
| 638 | 高等代数 | 考试内容和考试要求 一、多项式 考试内容 数域；一元多项式；整除；最大公因式（互素）；不可约多项式，因式分解；因式；多项式函数，根与一次因式的关系；复系数、实系数多项式的因式分解；有理系数多项式的可约性及其有理根， 有根与可约的关系。 考试要求 1. 理解数域、多项式的相关的概念，掌握多项式运算、带余除法、辗转相除法。 2. 理解整除、互素和余数定理，会运用它们进行证明。 3. 掌握有理系数多项式的性质，会求多项式的有理。 二、线性方程组 考试内容 消元法， 线性相关性，向量组的秩，矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构，n维向量空间的定义及性质。 考试要求 1. 掌握向量组的秩与矩阵秩的计算方法和性质，并会运用它们进行计算和证明。 2. 掌握线性方程组解的结构和线性方程组有解判别定理，能够求解线性方程组。 3. 掌握线性相关的性质和结论，并会运用它们进行计算和证明。 4. 理解n维向量空间的定义及性质。 三、矩阵 考试内容 矩阵的定义与运算；矩阵乘积的行列式与秩；矩阵的逆；矩阵分块；初等矩阵；分块矩阵及其应用。 考试要求 1.掌握矩阵的基本运算。 2.掌握可逆矩阵的定义、性质和计算方法，并会运用它们进行计算和证明。 3.掌握伴随矩阵的性质及其有关结论，会运用它们进行证明。 4.掌握矩阵乘积的秩的性质及其有关结论，并会运用它们进行计算和证明。 5.理解初等矩阵的概念、性质和有关结论。 6.理解分块矩阵，并会运用分块矩阵进行计算和证明。 四、行列式 考试内容 排列； n级行列式定义， n级行列式的性质， n级行列式的各种计算方法（含展开），拉普拉斯（Laplace）定理，行列式的乘法规则。 考试要求 1. 掌握n级行列式定义、性质和计算方法，并会运用它们进行计算和证明。。 五、线性空间 考试内容 线性空间的定义及基本性质，基、维数及坐标的定义和基本性质，基变换与坐标变换的关系，线性子空间的定义、性质、基、维数，线性子空间的交与和的性质、基和维数，维数公式，线性子空间的直和的定义及判定，线性空间的同构。 考试要求 1. 掌握基变换与坐标变换。 2. 掌握线性子空间定义、性质和有关结论。 3. 掌握线性子空间的直和的定义及判定。 六、线性变换 考试内容 线性变换的定义、性质和运算，线性变换的矩阵表示和性质，线性变换[方阵]的特征值理论，线性变换[矩阵]的对角化，线性变换的值域、核及不变子空间的定义、性质和线性空间的直和分解，线性变换[矩阵]的若当标准形、极小多项式介绍。 考试要求 1. 掌握线性变换的矩阵表示和性质、理论推导和线性变换在不同基下的关系。 2. 掌握矩阵和线性变换的特征值、特征向量的性质和解法。 3. 掌握矩阵可以对角化的几个充分或必要条件。 七、欧几里得空间 考试内容 欧几里得空间的定义和基本性质，度量矩阵的定义及性质，施密特（Schimidt）正交化过程，正交矩阵和正交变换的定义及性质，线性空间的正交分解，对称矩阵的标准形理论，最小二乘法。 考试要求 1. 掌握施密特正交化过程、 标准正交基的计算。 2. 掌握正交矩阵和正交变换的定义及性质。 3. 掌握对称矩阵的有关性质和结论，并会运用它们进行证明。 八、二次型 考试内容 二次型的定义及矩阵表示，二次型的标准形及化简二次型，实系数二次型的规范形的唯一性，正定二次型和正定矩阵的定义、性质及判定，矩阵的合同不变性质。 考试要求 1. 掌握化简二次型的方法，会将二次型化为标准形和规范形。 2. 掌握正定二次型和正定矩阵的定义、性质及判定条件，并会运用它们进行计算和证明。 |
《高等代数》（第四版），北京大学数学系前代数小组编，高等教育出版社 |
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