考研大纲包含了硕士研究生考试相应科目的考试形式、要求、范围、试卷结构等指导性考研用书。今天，为了方便2022考研的学子们，小编为大家整理了“2023考研大纲：郑州大学2023年考研自命题科目 915高等代数 考试大纲”的相关内容，祝您考研顺利！
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郑州 大学 20 23 年硕士生入学考试初试 高等代数 考试大纲
学院名称 科目代码 科目名称 考试单元 说明
数学与统计学院 915 高等代数
说明栏 ： 各单位自命题考试科目如需带计算器 、 绘图工具等特殊要求的 ， 请在说
明栏里加备注。
郑州大学硕士研究生入学考试
《高等代数》 考 试大纲
一、考试基本要求及适用范围概述
本《 高等代数 》考试大纲适用于郑州大学数学与统计学院相关专业的硕士研究生
入学考试 。高等代数是数学学科的基础理论课程 ，主要内容包括多项式理论和线
性代数理论 。要求考生系统地理解和掌握高等代数的基本概念和基本理论 ，掌握
多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、 λ 矩阵 、
欧氏空间的基本理论，并能综合运用所学的知识分析问题和解决问题。
二、考试形式
硕士研究生入学高等代数考试为闭卷 ， 笔试 ， 考试时间为 180 分钟 ， 本试卷满分
为 150 分 。
试卷结构（题型 ）： 填空 题 、 计算题 、 证明题
三、考试内容及要求
（一）多项式
理解数域的概念 .
掌握一元多项式及其次数、首项的定义和运算，性质
掌握带余除法定理，理解整除的概念和基本性质 .
理解最大公因式 、 多项式互素的概念 ， 会用辗转相除法求最大公因式 ， 掌握互素
多项式的性质 .
理解不可约多项式的概念 ，理解多项式有根与多项式可约的联系与区别 ，掌握不
可约多项式的性质和因式分解定理 .
理解重因式 、 多项式的微商 （ 导数 ） 的概念 ， 掌握多项式的重因式与其导数的关
命题学院（盖章）： 数学与统计学院 考试科目代码及名称： 915 高等代数
系，和多项式没有重因式的条件 .
掌握余数定理 ，理解多项式的根与次数的关系 ，以及多项式相等与多项式函数相
等的一致性 8复系数、实系数多项式的因式分解
理解代数学基本定理和复系数、实系数多项式的因式分解定理 .
理解本原多项式及与有理多项式的联系 ，掌握整系数多项式在有理数域上因式分
解、有有理根的性质和条件，掌握 Eisenstein 判别法 .
了解多元多项式字典排序法 .
理解多项式根与系数的关系，了解对称多项式的基本定理 .
（二） 行列式
理解排列 、 逆序数 、 奇排列 、 偶排列 、 对换的概念 ， 会计算排列的逆序数 ， 理解
对换与排列的逆序数的关系 ， 奇 、 偶排列各半 ， 任意排列可以通过一系列对换与
标准排列互换 .
掌握 n阶行列式的定义 (包括等价定义 )和一般项 ， 会判断给定项是否 n阶行列式
的一项 .
熟练掌握 n阶行列式的性质，并能够用 n阶行列式的性质计算行列式 .
理解余子式、代数余子式的概念，熟练掌握按行、列展开定理 .
理解 Cramer 法则的条件、结论和意义 .
理解 k级子式及其余子式、代数余子式的概念；理解 Laplace 定理与行列式的乘
法定理
（三） 线性方程组
理解系数矩阵、增广矩阵等概念，会用消元法解方程组
理解 n维向量及 n维向量空间的概念 ， 理解 n维行 、 列向量的差异与联系 ， 掌握
向量的线性运算
理解向量组的线性表示 、 线性相关 、 线性无关的概念 ， 会判断向量组的线性相关
性 ， 理解延长向量组 （ 包括添加向量和添加分量两种情况 ） 与原向量组的线性相
关性的关系，理解向量组的线性表出与它们线性相关性的关系
理解向量组的秩 、 极大线性无关组的概念 ， 掌握极大线性无关组的性质 ， 掌握向
量组的秩 、极大线性无关组与向量组的线性表出的联系 ，会求向量组的极大线性
无关组和秩 .
理解矩阵的秩 、 矩阵的行列式秩 、 k级子式的概念 ， 会求矩阵的秩并用矩阵的秩
判断向量组的线性相关性 ， 掌握方阵的秩 、 方阵的行列式 、 线性方程组有非零解
的联系
掌握线性方程组有解判定定理的内容和意义 ，会利用矩阵的秩判断线性方程组是
否有解，能够分情况讨论解的性质，理解自由未知量的选取方法 .
理解基础解系的概念 ，掌握齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的结构 ，掌
握非齐次线性方程组的解与其导出组解的关系 ，会求齐次线性方程组的基础解系，
以及用非齐次线性方程组的特解和其导出组的基础解系表示通解 .
（四） 矩阵
理解 矩阵的概念，掌握矩阵与行列式的区别与联系
掌握矩阵的加法 、 数乘 、 转置 、 乘积的运算和性质 ， 理解对称矩阵 、 反对称矩阵
的概念
掌握矩阵乘积的行列式、矩阵的和与积的秩与原矩阵的秩的关系
掌握逆矩阵、伴随矩阵的概念和性质，掌握方阵可逆的充要条件，会求逆矩阵
理解分块矩阵的概念 ， 掌握分块矩阵的运算 （ 包括求逆 ） 与分法的限制条件 ， 理
解准对角矩阵的概念和性质，会用分块矩阵方法解决问题 .
理解初等矩阵的概念 ，掌握初等矩阵与初等变换间的关系 ，矩阵的等价关系与等
价标准形，会用初等变换求逆矩阵，掌握矩阵初等变换下的不变量
理解分块矩阵的初等变换 ，广义初等矩阵与广义初等变换的关系 ，会用广义初等
变换解决分块矩阵的问题
（五） 二次型
理解二次型的矩阵、秩的定义、性质，以及二次型与对称矩阵的 1-1 对应
掌握合同矩阵的概念和性质 ，会用合同变换化对称矩阵为对角矩阵 ；掌握非退化
线性替换的概念和性质，会用非退化线性替换化二次型为标准形 .
理解实 、 复二次型规范形及其唯一性 ， 理解正惯性指数 、 负惯性指数 、 符号差的
概念
理解正定矩阵 、 正定二次型 ， 负定矩阵 、 负定二次型 ， 半正定矩阵 、 半正定二次
型 ， 半负定矩阵 、 半负定二次型的定义 ， 掌握正定矩阵 、 正定二次型的几个等价
条件 .
定矩阵与正定二次型
（六）线性空间
理解集合，集合的交、并；掌握映射，单射，满射，双射，映射的乘法（合成 ）
掌握线性空间的定义，运算，性质
掌握线性空间的维数 、 基 、 坐标的概念 ， 会求线性空间的维数 、 基 ， 以及向量在
指定基下的坐标
理解基变换的过渡矩阵的概念，掌握基变换、坐标变换公式
理解线性子空间和由若干向量所生成的子空间的概念 ，会判断子集合是否构成子
空间，会求子空间的维数、基，掌握补子空间及基扩充定理
理解子空间的交 、 和的概念 ， 会求两个子空间的交 、 和的基与维数 ， 掌握维数公
式及其应用
掌握子空间的直和的概念以及几个充要条件，会判断子空间的和是否是直和
理解线性空间同构的概念和性质，掌握 n维线性空间按同构的分类
（七） 线性变换
掌握线性变换的定义和性质
理解线性变换的加法、数乘、乘法、方幂、逆的定义和性质，
掌握线性变换的矩阵的概念 ，会求线性变换在指定基下的矩阵 ；掌握在取定基后
线性变换与它们的矩阵的一一对应关系 ；掌握一个线性变换在不同基下的矩阵的
关系；会求一个向量在线性变换下的像的坐标
熟练掌握线性变换 （ 矩阵 ） 的特征值 、 特征向量 、 特征多项式定义及计算 ， 理解
特征子空间的概念；掌握相似矩阵的概念及其性质；理解 Hamilton-Cayley 定理
熟练掌握一个 n级方阵相似于对角矩阵的条件 （ 充分条件 、必要条件 、充要条件 ）；
会求可逆矩阵 T，使得 T-1AT 为对角矩阵。
理解线性变换的值域 、 核的概念 ， 会求线性变换值域与核的基 、 维数 ； 掌握域与
核的维数间的关系
理解线性变换的不变子空间的概念 ；几个常用的不变子空间例子 ；理解线性变换
的不变子空间分解与线性变换的矩阵为准对角矩阵的联系 ；理解线性变换的根子
空间分解
（八） λ 矩阵
理解 λ 矩阵与数字矩阵的区别与联系 ： 子式 、 行列式 、 秩 、 可逆 ， 可逆的充要条
件
理解 λ 矩阵的初等变换 、 初等 λ 矩阵 、 λ 矩阵的等价的概念和联系 ， 会求 λ 矩阵
的等价标准形
理解 λ 矩阵的行列式因子、不变因子的概念和联系，会求 λ 矩阵的行列式因子 、
不变因子
掌握两个矩阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价 ，并会由此判断两个矩阵是
否相似
掌握 λ 矩阵的行列式因子 、 不变因子 、 初等因子联系 ， 会求一个复矩阵的初等因
子
理解若当定理 ；掌握初等因子与若当标准形间的对应关系 ，会求一个复矩阵的若
当标准形 ， 会求可逆矩阵 T， 使得 T-1AT 为若当标准形 ； 理解最小多项式的概念 ，
会求最小多项式；会用最小多项式判断一个复矩阵是否相似于对角矩阵
（九） 欧氏空间
理解内积 、欧氏空间的定义 、性质和常用例子 ；理解向量长度 、夹角 、单位向量 、
垂直（正交）的概念；掌握 Cauchy 不等式、勾股定理；掌握度量矩阵的概念和
性质
理解正交向量组 、 正交基 、 标准正交基的概念 ， 会用度量矩阵判断正交基 、 标准
正交基；
理解正交基 、 标准正交基的存在性 ， 熟练 Schmidt 正交化方法 ； 掌握正交矩阵的
概念、性质以及正交矩阵与标准正交基的关系
理解欧氏空间的同构的概念、性质，掌握欧氏空间按同构的分类
理解正交变换的定义和性质 ； 掌握正交变换的几个等价条件 ， 正交变换 、 标准正
交基、正交矩阵的联系；了解两类正交变换
理解正交子空间 、 正交补的概念 ； 掌握正交子空间与直和的关系 ； 掌握正交补的
存在唯一性及构成；了解向量在子空间上内射影的概念
熟练掌握实对称矩阵的特征值、特征向量的性质，会求正交矩阵 T，使得 T-1AT
为对角矩阵 ； 了解欧氏空间中对称变换 、 反对称变换的概念和性质 ； 掌握用特征
值判断实对称矩阵为正定矩阵的方法；会用实对称矩阵的标准形去解决问题
四、考试要求
硕士研究生入学考试 科目 《 高等代数 》 为闭卷 ， 笔试 ， 考试时间为 180 分钟 ，
本试卷满分为 150 分 。试卷务必书写清楚、符号和西文字母运用得当。答案必须
写在答题纸上，写在试题纸上无效。
五、 主要参考教材（参考书目）
1. 《 高等代数 》 北京大学数学系王萼芳 石生明修订 ， 第四版 ， 高等教育出版
社， 2013 年。
2. 《高等代数》姚慕生，吴泉水，谢启鸿，第 3版，复旦大学出版社， 2014 年 。
编制单位： 郑州大学
编制日期： 20 22 年 9月
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