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西南石油大学
2023 年硕士研究生招生专业课考试大纲
考试科目名称: 936 高等代数
一、考试性质
《 高等代数 》 是硕士研究生入学考试科目之一。本考试大纲的制定力求反映
招生 类型的特点,科学、公平、准确、规范地测评考生的相关基础知识掌握水平,
考 生分析问题和解决问题及综合知识运用能力。应考人员可根据本大纲的内容和
要 求自行学习相关内容和掌握有关知识。
本大纲主要包括行列式、矩阵、线性方程组、方阵对角化、二次型、多项式、
线性空间、线性变换和欧几里得空间等内容。
二、考试主要内容
1、 行列式
考试范围: n 阶行列式的定义 , n 阶行列式的性质与计算。
基本要求:
( 1) 理解排列及其逆序数,理解 n 阶行列式的定义,能利用定义计算行列
式的值。
( 2) 熟练掌握行列式的性质,能熟练计算低阶行列式的值,能计算较简单 的
n 阶行列式的值。
2、矩阵
考试范围:矩阵及其运算,分块矩阵与矩阵的初等变换,矩阵的秩,可逆矩
阵。
基本要求:
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( 1) 理解矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、 反
对称矩阵、方阵的幂及矩阵的转置等概念,熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运 算、
转置及其运算规律。
( 2) 理解分块矩阵、准对角矩阵、初等变换和初等矩阵的概念,熟练掌握 分
块矩阵的运算。
( 3) 理解初等变换与初等矩阵的概念及基本作用,了解矩阵等价的概念及 性
质,能用矩阵的初等变换化矩阵为标准形。
( 4) 理解矩阵的子式、矩阵的秩的定义,熟练掌握矩阵的秩的性质,能求 矩
阵的秩。
( 5) 理解满秩矩阵的概念,掌握满秩矩阵的性质。
( 6) 掌握两个方阵与其乘积的秩的关系式,能熟练运用方阵乘积的行列式 的
公式。
( 7) 理解可逆矩阵的概念,掌握可逆矩阵的性质,掌握矩阵可逆的充分必 要
条件。
( 8) 理解伴随矩阵的概念,掌握伴随矩阵的性质,会用伴随矩阵法求可逆 矩
阵的逆矩阵,能熟练运用矩阵的初等变换求可逆矩阵的逆矩阵,能解矩阵方程。
3、线性方程组
考试范围:向量及其线性运算,向量组的线性相关性,向量组的秩, 线性方
程组解的判定定理,齐次线性方程组解的结构,非齐次线性方程组解的结构。
基本要求:
( 1) 理解 n 维向量的概念,熟练掌握 n 维向量的线性运算及其运算规律。
( 2) 理解向量组的线性组合的概念,能将向量表示成向量组的线性组合。
( 3) 理解向量组的线性相关与线性无关的定义,熟练掌握向量组线性相关 、
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线性无关的判别法,掌握向量组线性相关、线性无关的有 关重要结论。
( 4) 理解向量组等价、向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念,理解 向
量组的秩与矩阵秩的关系。
( 5) 会求向量组的秩和向量组的一个极大线性无关组,并能用向量组的一 个
极大线性无关组线性表出该向量组中的其它向量。
( 6) 理解线性方程组的基本概念,掌握克拉默 ( Cramer ) 法则,会用克 拉
默法则解线性方程组。
( 7) 熟练掌握线性方程组解的判定定理,能用初等变换法解线性方程组。
( 8) 理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念,掌握齐次线性方程组 解
的性质,能熟练解齐次线性方程组。
( 9) 掌握非齐次线性方程组解的性质,理解非齐次线性方程组的解的结构。
( 10) 掌握非齐次线性方程组的性质,理解非齐次线性方程组的解的结构 ,
能熟练解非齐次线性方程组。
4、方阵对角化
考试范围:内积,特征值与特征向量,矩阵对角化。
基本要求:
( 1) 理解向量的内积、正交向量组的概念,掌握内积、正交向量组的性质 ,
掌握施密特 ( Schmidt )正交化方法。
( 2) 理解正交矩阵的概念,熟练掌握正交矩阵的性质和实方阵是正交矩阵 的
条件。
( 3) 理解方阵的特征值、特征向量、特征多项式和特征方程等概念,会求 矩
阵的特征值和特征向量,熟练掌握方阵的特征值和特征向量的性质。
( 4) 理解矩阵相似的概念,并熟练掌握它们的性质。
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( 5) 理解方阵相似对角矩阵的条件,掌握将矩阵对角化的方法。
( 6) 理解实对称矩阵的特征值和特征向量的特殊性质,熟练掌握用正交矩 阵
化实对称矩阵为对角矩阵的方法。
5、二次型
考试范围:二次型及其标准形,正定二次型。
基本要求:
( 1) 理解二次型及其矩阵、秩、线性替换、矩阵合同、二次型的标准形和 规
范形等概念,会用用配方法化二次型为标准形,熟练掌握用正交变换化实二次 型
为标准形的方法。
( 2) 掌握惯性定理,理解正惯性指数、负惯性指数等 概念。
( 3) 理解正定二次型及正定矩阵等概念,掌握实二次型是正定二次型的条 件,
掌握正定二次型与正定矩阵的判别法。
6、多项式
考试范围:一元多项式的运算及其整除性,最大公因式,因式分解唯一定理
和重因式,复系数与实系数多项式的因式分解,有理系数多项式。
基本要求:
( 1) 理解一元多项式的基本概念,熟练掌握一元多项式的运算。
( 2) 理解一元多项式的整除的概念,掌握整除的性质和定理。
( 3) 理解最大公因式、互素等概念,掌握有关定理,能用辗转相除法求最 大
公因式。
( 4) 理解不可约多项式、重因式等概念,理解因式分解唯一定理及标准分 解
式,掌握多项式无重因式的充要条件。
( 5) 了解复数域和实数域上的多项式的因式分解定理。
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( 6) 理解艾森斯坦因判别法,能求有理系数多项式的有理根。
7、线性空间
考试范围:线性空间的定义与性质,向量组的线性关系,维数、基、坐标,
基变换与坐标变换,线性子空间,子空间的交与和,子空间的直和,线性空间的
同构。
基本要求:
( 1) 理解线性空间的定义,掌握线性空间的简单性质。
( 2) 理解线性空间中向量组的线性组合、向量的线性表出、向量组的线性 相
关与线性无关、向量组等价、向量组的极大线性无关组和向量组的秩等概念, 掌
握有关重要结论。
( 3) 理解线性空间的维数、基与坐标等概念,能求线性空间的维数与一组 基,
能求向量的坐标。
( 4) 掌握基变换与坐标变换公式,能求由一组基到另一组基的过渡矩阵。
( 5) 理解线性子空间和子集生成的子空间等概念,掌握子空间判别方法。
( 6) 理解子空间的交与和等概念,掌握子空间的交与和的重要性质和维数 公
式。
( 7) 理解子空间的直和概念,掌握子空间的直和的重要性质。
( 8) 理解映射、单射映射、满射映射、双射映射和同构映射等概念,掌握 同
构映射的基本性质。
8、线性变换
考试范围:线性变换及其运算,线性变换的矩阵,线性变换的特征值与特征
向量,不变子空间。
基本要求:
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( 1) 理解线性变换、可逆线性变换等概念及其性质,掌握线性变换的运算 ,
掌握可逆线性变换的判定方法,了解线性变换的幂与多项式。
( 2) 理解线性变换的矩阵的概念,能求线性变换的矩阵,掌握同一个线性 变
换在不同基下的矩阵间的关系。
( 3) 理解线性变换的特征值与特征向量的概念,能求线性变换的特征值与 特
征向量。
( 4) 掌握线性变换的特征值和特征向量的性质,掌握线性变换在一组基下 的
矩阵是对角矩阵的条件。
( 5) 理解不变子空间、特征子空间、值域和核等概念,掌握线性变换的秩 与
零度的关系。
9、欧几里得空间
考试范围:欧氏空间的定义与性质,度量矩阵,标准正交基,正交补,欧氏
空间的同构,正交变换与对称变换。
基本要求:
( 1) 理解欧氏空间及其度量的概念,掌握欧氏空间的性质。
( 2) 理解度量矩阵的概念,能求度量矩阵,掌握不同基的度量矩阵之间的 关
系。
( 3) 理解正交基、标准正交基等概念,掌握基是标准正交基的条件,掌握 从
一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵的性质。
( 4) 理解正交和、正交补、内射影等概念,掌握正交补的求法和有关理论。
( 5) 理解欧氏空间同构的概念。
( 6) 理解正交变换与对称变换等概念,掌握正交变换与对称变换的有关性 质。
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三、考试形式和试卷结构
1、考试时间和分值
考试时间为 180 分钟,试卷满分为 150 分。
2、考试题型结构
( 1) 计算题:根据题目内容完成相应问题的计算,要求给出具体计算过程。
( 2) 证明题:根据题目内容完成相应问题的证明,要求给出具体证明过程。
四、参考书目
1、《高等代数教程》 (第一版 ),上册,王萼芳编著,清华大学出版社, 201 1
2、《高等代数教程》 (第一版 ),下册,王萼芳编著,清华大学出版社, 201 1
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